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<!DOCTYPE html>

<title>Massefunktion</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Massefunktion</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Als <b>Massefunktionen</b> werden wichtige Parameter des <a href="Erdschwerefeld" class="mw-redirect" title="Erdschwerefeld">Erdschwerefeldes</a> bezeichnet, die durch <a href="Harmonische_Funktion" title="Harmonische Funktion">harmonische Analyse</a> des <a href="Schwerepotential" class="mw-redirect" title="Schwerepotential">Schwerepotentials</a> (<a href="Reihenentwicklung" title="Reihenentwicklung">Reihenentwicklung</a> nach <a href="Kugelfl%C3%A4chenfunktion" class="mw-redirect" title="Kugelflächenfunktion">Kugelfunktionen</a>) bestimmt werden können.

</p><p>Der Begriff wurde vom <a href="Geod%C3%A4t" title="Geodät">Geodäten</a> <a href="Karl_Ledersteger" title="Karl Ledersteger">Karl Ledersteger</a> um 1965 geprägt, der erstmals untersuchte, wie weit die wesentlichen Ergebnisse der <a href="Dynamische_Satellitengeod%C3%A4sie" title="Dynamische Satellitengeodäsie">Dynamischen Satellitengeodäsie</a> mit theoretischen <a href="Gleichgewichtsfigur" title="Gleichgewichtsfigur">Gleichgewichtsfiguren</a> des <a href="Erdinneres" class="mw-redirect" title="Erdinneres">Erdinnern</a> in Einklang gebracht werden können.

</p><p>Physikalisch stellen die Massefunktionen jene Parameter des Schwerepotentials dar, mit denen man die wesentlichen Abweichungen des Erdschwerefeldes von dem einer mittleren <a href="Erdfigur" title="Erdfigur">Erdkugel</a> bzw. eines theoretischen <a href="Erdellipsoid" class="mw-redirect" title="Erdellipsoid">Erdellipsoids</a> beschreiben kann. Mathematisch sind sie die <a href="Harmonische" title="Harmonische">harmonischen</a> <a href="Koeffizient" title="Koeffizient">Koeffizienten</a> einer Reihenentwicklung des Schwerepotentials, die an der <a href="Erdoberfl%C3%A4che" title="Erdoberfläche">Erdoberfläche</a> durch <a href="Geografische_L%C3%A4nge" class="mw-redirect" title="Geografische Länge">längen-</a> und <a href="Geografische_Breite" class="mw-redirect" title="Geografische Breite">breiten</a>abhängige <a href="Kugelfl%C3%A4chenfunktion" class="mw-redirect" title="Kugelflächenfunktion">Kugelflächenfunktionen</a> bis zu einem bestimmten <a href="Grad_(Polynom)" title="Grad (Polynom)">Grad</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> durchgeführt wird. Diese <a href="Zweidimensional" class="mw-redirect" title="Zweidimensional">zweidimensionale</a> Lösung wird mittels geeigneter Verfahren der Feldfortsetzung in den Bereich der <a href="Bahnh%C3%B6he" class="mw-redirect" title="Bahnhöhe">Bahnhöhen</a> der <a href="Geod%C3%A4tischer_Satellit" title="Geodätischer Satellit">geodätischen Erdsatelliten</a> transformiert.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelne_Massefunktionen_bzw._Koeffizienten">Einzelne Massefunktionen bzw. Koeffizienten</h2></div>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/260ffe7da7c858cf114ad89a6c794944ea4e760f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.344ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{1}}" loading="lazy"></span> ist immer Null.</li>

<li>Die größte Massefunktion des <a href="Erde" title="Erde">Erdkörpers</a> ist der <b>Schwerekoeffizient</b> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f9986a8fbfd51097a5ff5e82d3252c9572b5835.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.344ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{2}}" loading="lazy"></span>, der etwa 0,00108 beträgt und direkt mit der <a href="Erdabplattung" title="Erdabplattung">Erdabplattung</a> zusammenhängt (21 km Unterschied zwischen mittlerem Äquator- und Pol<a href="Erdradius" title="Erdradius">radius der Erde</a>). Physikalisch ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f9986a8fbfd51097a5ff5e82d3252c9572b5835.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.344ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{2}}" loading="lazy"></span> die Differenz der <a href="Tr%C3%A4gheitsmoment" title="Trägheitsmoment">Trägheitsmomente</a> um die <a href="Erdachse" title="Erdachse">Rotationsachse der Erde</a> und um eine im <a href="%C3%84quator" title="Äquator">Äquator</a> liegende Achse:</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{2}=J_{\text{rot}}-J_{\text{eq}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb983f3ead954e9fb4e79f2624f9308b3d874a9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.032ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle J_{2}=J_{\text{rot}}-J_{\text{eq}}}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<p>Als eigentliche Massefunktionen werden jedoch erst die nachfolgenden Koeffizienten <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{3},J_{4}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{3},J_{4}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e27f42da1f608440c4d2d624c0d7efa6e338a578.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.723ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{3},J_{4}}" loading="lazy"></span> usw. bezeichnet, die wesentlich kleiner sind (Wirkung auf die Erdfigur nur wenige Millionstel bzw. weniger als 20 Meter). Sie beschreiben die mittlere vertikale Abweichung des <a href="Geoid" title="Geoid">Geoids</a> vom globalen Erdellipsoid in bestimmten <a href="Breitenkreis" title="Breitenkreis">Breitenzonen</a>. Dieses <a href="Rotationssymmetrie" class="mw-redirect" title="Rotationssymmetrie">rotationssymmetrische</a> Potentialmodell (Mittelung des <a href="Schwerefeld#Geopotential" title="Schwerefeld">Geopotentials</a> entlang der <a href="Parallelkreis" title="Parallelkreis">Parallelkreise</a>) erhält man durch harmonische Entwicklung nach <a href="Zonale_Kugelfunktion" class="mw-redirect" title="Zonale Kugelfunktion">zonalen Kugelfunktionen</a>, die sich aus breitenabhängigen <a href="Legendre-Polynom" title="Legendre-Polynom">Legendre-Polynomen</a> aufbauen.

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{3}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/461776bf90e008ad7e31e0b5dca1c3ddc1273378.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.344ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{3}}" loading="lazy"></span> bedeutet eine Nord-Süd-<a href="Asymmetrie" title="Asymmetrie">Asymmetrie</a> der Erdfigur, die einer unterschiedlichen Abplattung der beiden <a href="Erdoberfl%C3%A4che#Gliederung_nach_Hemisphären" title="Erdoberfläche">Hemisphären</a> entspricht und etwa 15 Meter ausmacht. Sie wurde bereits durch kleine <a href="Bahnst%C3%B6rung" title="Bahnstörung">Bahnstörungen</a> des ersten US-<a href="Satellit_(Raumfahrt)" title="Satellit (Raumfahrt)">Satelliten</a> <a href="Explorer_1" title="Explorer 1">Explorer 1</a> entdeckt und erhielt in den Medien den unglücklichen Spitznamen „Birnenform der Erde“, obwohl sie gegenüber der Erdabplattung selbst weniger als ein Tausendstel beträgt und vom Weltraum aus nicht zu beobachten wäre.</li>

<li>Die Massefunktion 4. Ordnung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{4}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{4}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c12f37a299dcf4af6690fffcfd6fcc205fa2bae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.344ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{4}}" loading="lazy"></span> kann als mittlere Abweichung der Erd<a href="Meridian_(Geographie)" title="Meridian (Geographie)">meridiane</a> von der Ellipsenform gedeutet werden und macht unter 45° <a href="Geografische_Breite" class="mw-redirect" title="Geografische Breite">Breite</a> ebenfalls rund 15 Meter aus (also wie <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{3}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/461776bf90e008ad7e31e0b5dca1c3ddc1273378.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.344ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{3}}" loading="lazy"></span> etwa 2 Millionstel des Erdradius).</li>

<li>Der Koeffizient <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{5}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{5}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33369198b214c89e142cad7f3f0261534e7115ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.344ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{5}}" loading="lazy"></span> ist fast Null.</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{6}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d67124702828f96f0d8fbfc6fbb9a0cd504cfdbc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.344ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{6}}" loading="lazy"></span> macht nur wenige Meter aus, und die folgenden Terme lediglich einige <a href="Dezimeter" class="mw-redirect" title="Dezimeter">Dezimeter</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weiterentwicklung">Weiterentwicklung</h2></div>

<p>Seit etwa 1970 wurde es möglich, die vereinfachte <a href="Zone" title="Zone">zonale</a> Reihenentwicklung (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{2},J_{3},\dots ,J_{14}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{2},J_{3},\dots ,J_{14}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a6c1953797713456351c564c52a1a7df66426e38.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.067ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{2},J_{3},\dots ,J_{14}}" loading="lazy"></span>) des Geoids zu einer flächendeckenden, zweidimensionalen Analysemethode zu erweitern, in der auch die geografische Länge berücksichtigt ist. In einem solchen <a href="Erdmodell" title="Erdmodell">Erdmodell</a> mit <a href="Tesseral" title="Tesseral">tesseralen</a> (schachbrettartigen) Kugelflächenfunktionen entspricht <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f9986a8fbfd51097a5ff5e82d3252c9572b5835.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.344ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{2}}" loading="lazy"></span> dem harmonischen Koeffizienten <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C(2,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(2,0)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc6f59548dd9964d8469d998bcd8f0d5c54cc667.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.934ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C(2,0)}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{3}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/461776bf90e008ad7e31e0b5dca1c3ddc1273378.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.344ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{3}}" loading="lazy"></span> entspricht <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C(3,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(3,0)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f21ad9f15b72da63cd7e2fcccd603d1a896986b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.934ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C(3,0)}" loading="lazy"></span> usw. Die allgemeinen Terme der harmonischen Koeffizienten werden dann als <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C(n,m)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(n,m)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e39a7d8c111c08275f77584bbd1df5f755d199d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.045ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C(n,m)}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S(n,m)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S(n,m)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/339e20666ce9a7531f9b8a6deed88b149a1e87ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.778ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S(n,m)}" loading="lazy"></span> bezeichnet. Dabei stehen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"></span> für einen <a href="Cosinus" class="mw-redirect" title="Cosinus">Cosinus</a>-Term und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"></span> für einen Sinus-Term, jeweils der geografischen Länge, die in der Ordnung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"></span> auftritt (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m=0,1,2,\dots }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m=0,1,2,\dots }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e3941ef86e9519a5acbeff3a8b90a56611ecdab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.451ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle m=0,1,2,\dots }" loading="lazy"></span>), während <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> den Grad der Breitenabhängigkeit darstellt (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=2,3,4,\dots }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=2,3,4,\dots }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f7712e82d235052b5d048a095ffff51babf66ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.806ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=2,3,4,\dots }" loading="lazy"></span>).

</p><p>In einer solchen verallgemeinerten Reihenentwicklung können sich daher breiten- und längenabhängige Wirkungen auf das Geoid zwanglos <a href="Superposition_(Physik)" title="Superposition (Physik)">überlagern</a>, sodass man sie ohne jegliche Vorgaben (also nur aus den vorliegenden Messungen) bestimmen kann. Dies ist heute aus den Bahnen von Erdsatelliten bis etwa Grad und Ordnung 70 möglich.

</p><p>Um etwa 1975 begann man, auch höhergradige Koeffizienten des Schwerefeldes zu bestimmen, indem man die aus Satellitenbahnen abgeleiteten <a href="Term" title="Term">Terme</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C(n,m)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(n,m)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e39a7d8c111c08275f77584bbd1df5f755d199d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.045ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C(n,m)}" loading="lazy"></span> mit <a href="Terrestrisch" title="Terrestrisch">terrestrisch</a> bestimmten Schwerefeldparametern kombinierte. Seit einigen Jahren ist dies bis etwa zu Grad und Ordnung 720 möglich. Damit haben die <a href="Geowissenschaften" title="Geowissenschaften">Geowissenschaften</a> ein mathematisches Verfahren zur Verfügung, mit dem das Erdschwerefeld – je nach Bedarf – durch bis zu 100.000 Parameter beschrieben wird. Damit lässt sich das Geoid weltweit durch <a href="Rekursiv" class="mw-redirect" title="Rekursiv">rekursive</a> (also einfach zu <a href="Programmieren" class="mw-redirect" title="Programmieren">programmierende</a>) Formeln mit einer <a href="Aufl%C3%B6sung_(Physik)" class="mw-redirect" title="Auflösung (Physik)">Auflösung</a> von etwa 50 km darstellen, und die Wirkung auf <a href="Satellitenbahn" class="mw-redirect" title="Satellitenbahn">Satellitenbahnen</a> auf mindestens 1 Meter.

</p><p>Feinere Details können durch lokale terrestrische Messungen angefügt werden, während bei geringerem Genauigkeitsbedarf die Reihenentwicklung an passender Stelle abgebrochen wird. So haben <a href="GPS-Empf%C3%A4nger" class="mw-redirect" title="GPS-Empfänger">GPS-Empfänger</a> das Schwerefeld der Erde bis etwa zum Grad n=8 oder 10 einprogrammiert, was etwa 100 Massefunktionen und einer Höhengenauigkeit von ca. 5 Metern entspricht.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Karl_Ledersteger" title="Karl Ledersteger">Karl Ledersteger</a>: <i>Astronomische und Physikalische Geodäsie (Erdmessung).</i> In: <i><a href="Handbuch_der_Vermessungskunde" title="Handbuch der Vermessungskunde">JEK</a>.</i> Band V, Kapitel 6, 7 und 12, Metzler, Stuttgart 1968.</li>

<li><a href="G%C3%BCnter_Seeber" title="Günter Seeber">Günter Seeber</a>: <i>Satellitengeodäsie.</i> de Gruyter, um 1975 und 1995.</li>

<li><a href="Manfred_Schneider_(Geod%C3%A4t)" title="Manfred Schneider (Geodät)">Manfred Schneider</a>: <i><a href="Himmelsmechanik" title="Himmelsmechanik">Himmelsmechanik</a>.</i> In 4 Bänden. Band I und III. München 1995 und 1999.</li>

<li>K. Seitz:: <cite style="font-style:italic">Ellipsoidische und topographische Effekte im geodätischen Randwertproblem</cite>. Hrsg.: Bayerische Akademie der Wissenschaften. München 1997, ISBN 3-7696-9523-2 (<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261891140">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .webarchiv-memento a{color:inherit}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20070708225520/http://www.gik.uni-karlsruhe.de/diss_seitz.html">Abstract (im Webarchiv)</a> (<span class="webarchiv-memento"><a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a></span> vom 8. Juli 2007 im <i><a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a></i>)).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Massefunktion&rft.au=K.+Seitz%3A&rft.btitle=Ellipsoidische+und+topographische+Effekte+im+geod%C3%A4tischen+Randwertproblem&rft.date=1997&rft.genre=book&rft.isbn=3769695232&rft.place=M%C3%BCnchen" style="display:none"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Erdmessung" title="Erdmessung">Erdmessung</a>, <a href="Physikalische_Geod%C3%A4sie" title="Physikalische Geodäsie">Physikalische Geodäsie</a>, <a href="Potentialtheorie" title="Potentialtheorie">Potentialtheorie</a></li>

<li><a href="Randwertaufgabe" class="mw-redirect" title="Randwertaufgabe">Randwertaufgabe</a>, <a href="St%C3%B6rpotential" title="Störpotential">Störpotential</a></li>

<li><a href="Altimetrie" class="mw-redirect" title="Altimetrie">Altimetrie</a>, <a href="Gradiometrie" title="Gradiometrie">Gradiometrie</a></li></ul></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-01-10" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Massefunktion&oldid=252125125">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>